Phương pháp quay lui

Giả sử ta phải tìm trong một tập dữ liệu D cho trước một dãy dữ liệu:

v = (v[1], v[2],..., v[n])

thoả mãn đồng thời hai tính chất P và Q. Trước hết ta chọn một trong hai tính chất đã cho để làm nền, giả sử ta chọn tính chất P.

Sau đó ta thực hiện các bước sau đây:

Bước 1. (Khởi trị) Xuất phát từ một dãy ban đầu v = (v[1],..., v[i]) nào đó của các phần tử trong D sao cho v thoả P.

Bước 2. Nếu v thoả Q ta dừng thuật toán và thông báo kết quả là dãy v, ngược lại ta thực hiện Bước 3.

Bước 3. Tìm tiếp một phần tử v[i + 1] để bổ sung cho v sao cho

v = (v[1],..., v[i], v[i + 1]) thoả P.

Có thể xảy ra các trường hợp sau đây:

3.1. Tìm được phần tử v[i + 1]: quay lại bước 2.

3.2. Không tìm được v[i + 1] như vậy, tức là với mọi v[i + 1] có thể lấy trong D, dãy v = (v[1],..., v[i], v[i + 1]) không thoả P. Điều này có nghĩa là đi theo đường

v = (v[1],..., v[i])

sẽ không dẫn tới kết quả. Ta phải đổi hướng tại một vị trí nào đó. Để thoát khỏi ngõ cụt này, ta tìm cách thay v[i] bằng một giá trị khác trong D. Nói cách khác, ta loại v[i] khỏi dãy v, giảm i đi một đơn vị rồi quay lại Bước 3.

Cách làm như trên được gọi là quay lui: lùi lại một bước.

Dĩ nhiên ta phải đánh dấu v[i] là phần tử đã loại tại vị trí i để sau đó không đặt lại phần tử đó vào vị trí i trong dãy v.

Khi nào thì có thể trả lời là không tồn tại dãy v thoả đồng thời hai tính chất P và Q?  Nói cách khác, khi nào thì ta có thể trả lời là bài toán vô nghiệm?

Dễ thấy, bài toán vô nghiệm khi ta đã duyệt hết mọi khả năng. Ta nói là đã vét cạn mọi khả năng. Chú ý rằng có thể đến một lúc nào đó ta phải lùi liên tiếp nhiều lần. Từ đó suy ra rằng, thông thường bài toán vô nghiệm khi ta không còn có thể lùi được nữa. Có nhiều sơ đồ giải các bài toán quay lui, dưới đây là hai sơ đồ khá đơn giản, không đệ quy.

Sơ đồ 1: Giải bài toán quay lui  (tìm 1 nghiệm)	Sơ đồ 2: Giải bài toán quay lui  (tìm 1 nghiệm)
Khởi trị v: v thoả P; repeat   if (v thoả Q) then    begin      Ghi nhận nghiệm;      exit;    end; if (Tìm được 1 nước đi)   then Tiến     else      if (có thể lùi được)      then Lùi     else       begin         Ghi nhận: vô nghiệm;         exit;       end; until false;	Khởi trị v: v thoả P; repeat   if (v thoả Q) then         begin           Ghi nhận nghiệm;           exit;         end; if (Hết khả năng duyệt)    then      begin              Ghi nhận vô nghiệm;              exit;            end; if (Tìm được 1 nước đi)      then Tiến         else Lùi;    until false;

Thông thường ta khởi trị cho v là dãy rỗng (không chứa phần tử nào) hoặc dãy có một phần tử. Ta chỉ yêu cầu dãy v được khởi trị sao cho v thoả P. Lưu ý là cả dãy v thoả P chứ không phải từng phần tử trong v thoả P.

Có bài toán yêu cầu tìm toàn bộ (mọi nghiệm) các dãy v thoả đồng thời hai tính chất P và Q. Nếu biết cách tìm một nghiệm ta dễ dàng suy ra cách tìm mọi nghiệm như sau: mỗi khi tìm được một nghiệm, ta thông báo nghiệm đó trên màn hình hoặc ghi vào một tệp rồi thực hiện thao tác Lùi, tức là giả vờ như không công nhận nghiệm đó, do đó phải loại v[i] cuối cùng trong dãy v để tiếp tục tìm hướng khác. Phương pháp này có tên là phương pháp giả sai. Hai sơ đồ trên sẽ được sửa một chút như sau để tìm mọi nghiệm. 

Sơ đồ 3: Giải bài toán quay lui (tìm mọi nghiệm)	Sơ đồ 4: Giải bài toán quay lui  (tìm mọi nghiệm)
Khởi trị: v thoả P; d  :=  0;  {đếm số nghiệm} repeat   if (v thoả Q) then     begin      d   :=   d+1;      Ghi nhận nghiệm thứ d;      Lùi; { giả  sai }     end; if (Tìm được 1 nước đi)   then Tiến        else if (có thể lùi được)  then Lùi else { hết khả năng }  begin    if d = 0 then      Ghi nhận: vô nghiệm;    else      Ghi nhận: d nghiệm;    exit;           end; until false;	Khởi trị: v thoả P; d  :=  0;  {đếm số nghiệm} repeat   if (v thoả Q) then   begin    d   :=   d+ 1;    Ghi nhận nghiệm thứ d;    Lùi; { giả  sai }   end;   if (Hết khả năng duyệt)   then   begin    if d = 0 then      Ghi nhận: vô nghiệm;    else      Ghi nhận: d nghiệm;    exit;   end;    if (Tìm được 1 nước đi)    then Tiến           else Lùi; until false;